Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84097 / 18559
↖ ↑ ↗
← N 77.989620°
E 50.979309°		 ← 63.56 m → N 77.989620°
E 50.982056°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.989049°
E 50.979309°		 ← 63.56 m →
4 037 m²		 N 77.989049°
E 50.982056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641613006591797 y=0.141597747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641613006591797 × 217)
    floor (0.641613006591797 × 131072)
    floor (84097.5)     		tx = 84097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141597747802734 × 217)
    floor (0.141597747802734 × 131072)
    floor (18559.5)     		ty = 18559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84097 / 18559 ti = "17/84097/18559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84097/18559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84097 ÷ 217
    84097 ÷ 131072     		x = 0.641609191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18559 ÷ 217
    18559 ÷ 131072     		y = 0.141593933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641609191894531 × 2 - 1) × π
    0.283218383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.88975679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141593933105469 × 2 - 1) × π
    0.716812133789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.25193173345138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88975679} λ = 0.88975679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25193173345138))-π/2
    2×atan(9.50608132664526)-π/2
    2×1.46598599057245-π/2
    2.93197198114491-1.57079632675     		φ = 1.36117565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88975679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.979309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36117565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.989620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84097 KachelY 18559 0.88975679 1.36117565 50.979309 77.989620
    Oben rechts KachelX + 1 84098 KachelY 18559 0.88980473 1.36117565 50.982056 77.989620
    Unten links KachelX 84097 KachelY + 1 18560 0.88975679 1.36116568 50.979309 77.989049
    Unten rechts KachelX + 1 84098 KachelY + 1 18560 0.88980473 1.36116568 50.982056 77.989049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36117565-1.36116568) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36117565-1.36116568) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88975679-0.88980473) × cos(1.36117565) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208088895036493 × 6371000     		do = 63.5557047524086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88975679-0.88980473) × cos(1.36116568) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208098646782033 × 6371000     		du = 63.5586831865066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36117565)-sin(1.36116568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208088895036493-0.208098646782033)×R²
    abs(0.88980473-0.88975679)×9.75174554060376e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.75174554060376e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.75174554060376e-06×40589641000000     		ar = 4037.0811413639m²