Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 841 / 1353
↖ ↑ ↗
← S 49.951220°
W 32.167969°		 ← 12.577 km → S 49.951220°
W 31.992188°		 →
↑
12.562 km
↓
↑
12.562 km
↓
S 50.064192°
W 32.167969°		 ← 12.547 km →
157.801 km²		 S 50.064192°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410888671875 y=0.660888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410888671875 × 211)
    floor (0.410888671875 × 2048)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660888671875 × 211)
    floor (0.660888671875 × 2048)
    floor (1353.5)     		ty = 1353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 841 / 1353 ti = "11/841/1353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/841/1353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 211
    841 ÷ 2048     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1353 ÷ 211
    1353 ÷ 2048     		y = 0.66064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66064453125 × 2 - 1) × π
    -0.3212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0093593583999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0093593583999))-π/2
    2×atan(0.364452388159024)-π/2
    2×0.349491537009783-π/2
    0.698983074019566-1.57079632675     		φ = -0.87181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.951220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 1353 -0.56143697 -0.87181325 -32.167969 -49.951220
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 1353 -0.55836901 -0.87181325 -31.992188 -49.951220
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 1354 -0.56143697 -0.87378498 -32.167969 -50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 1354 -0.55836901 -0.87378498 -31.992188 -50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87181325--0.87378498) × R
    0.00197173000000006 × 6371000     		dl = 12561.8918300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87181325--0.87378498) × R
    0.00197173000000006 × 6371000     		dr = 12561.8918300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(-0.87181325) × R
    0.00306795999999998 × 0.643439568499962 × 6371000     		do = 12576.6525359822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(-0.87378498) × R
    0.00306795999999998 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 12547.1263302239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87181325)-sin(-0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643439568499962-0.641928965496643)×R²
    abs(-0.55836901--0.56143697)×0.00151060300331884×R²
    0.00306795999999998×0.00151060300331884×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151060300331884×40589641000000     		ar = 157801147.362953m²