Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84112 / 18576
↖ ↑ ↗
← N 77.979900°
E 51.020508°		 ← 63.59 m → N 77.979900°
E 51.023254°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.979328°
E 51.020508°		 ← 63.60 m →
4 044 m²		 N 77.979328°
E 51.023254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641727447509766 y=0.141727447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641727447509766 × 217)
    floor (0.641727447509766 × 131072)
    floor (84112.5)     		tx = 84112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141727447509766 × 217)
    floor (0.141727447509766 × 131072)
    floor (18576.5)     		ty = 18576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84112 / 18576 ti = "17/84112/18576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84112/18576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84112 ÷ 217
    84112 ÷ 131072     		x = 0.6417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18576 ÷ 217
    18576 ÷ 131072     		y = 0.1417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    0.283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89047585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1417236328125 × 2 - 1) × π
    0.716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89047585} λ = 0.89047585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25111680615784))-π/2
    2×atan(9.49833771718546)-π/2
    2×1.46590116811356-π/2
    2.93180233622712-1.57079632675     		φ = 1.36100601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89047585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36100601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.979900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84112 KachelY 18576 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
    Oben rechts KachelX + 1 84113 KachelY 18576 0.89052378 1.36100601 51.023254 77.979900
    Unten links KachelX 84112 KachelY + 1 18577 0.89047585 1.36099603 51.020508 77.979328
    Unten rechts KachelX + 1 84113 KachelY + 1 18577 0.89052378 1.36099603 51.023254 77.979328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36100601-1.36099603) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dl = 63.5825800011918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36100601-1.36099603) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dr = 63.5825800011918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89047585-0.89052378) × cos(1.36100601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20825481860803 × 6371000     		do = 63.5931141674686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89047585-0.89052378) × cos(1.36099603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208264579782204 × 6371000     		du = 63.5960948594297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36100601)-sin(1.36099603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20825481860803-0.208264579782204)×R²
    abs(0.89052378-0.89047585)×9.76117417444966e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.76117417444966e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.76117417444966e-06×40589641000000     		ar = 4043.50902932969m²