Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 842 / 1354
↖ ↑ ↗
← S 50.064192°
W 31.992188°		 ← 12.547 km → S 50.064192°
W 31.816407°		 →
↑
12.532 km
↓
↑
12.532 km
↓
S 50.176898°
W 31.992188°		 ← 12.518 km →
157.061 km²		 S 50.176898°
W 31.816407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411376953125 y=0.661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411376953125 × 211)
    floor (0.411376953125 × 2048)
    floor (842.5)     		tx = 842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661376953125 × 211)
    floor (0.661376953125 × 2048)
    floor (1354.5)     		ty = 1354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 842 / 1354 ti = "11/842/1354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/842/1354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 842 ÷ 211
    842 ÷ 2048     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1354 ÷ 211
    1354 ÷ 2048     		y = 0.6611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    -0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01242731997559))-π/2
    2×atan(0.363335975666976)-π/2
    2×0.348505671829517-π/2
    0.697011343659033-1.57079632675     		φ = -0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 842 KachelY 1354 -0.55836901 -0.87378498 -31.992188 -50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 843 KachelY 1354 -0.55530105 -0.87378498 -31.816407 -50.064192
    Unten links KachelX 842 KachelY + 1 1355 -0.55836901 -0.87575208 -31.992188 -50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 843 KachelY + 1 1355 -0.55530105 -0.87575208 -31.816407 -50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87378498--0.87575208) × R
    0.0019671 × 6371000     		dl = 12532.3941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87378498--0.87575208) × R
    0.0019671 × 6371000     		dr = 12532.3941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55530105) × cos(-0.87378498) × R
    0.00306796000000009 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 12547.1263302243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55530105) × cos(-0.87575208) × R
    0.00306796000000009 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 12517.6208495609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87378498)-sin(-0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.640419422818882)×R²
    abs(-0.55530105--0.55836901)×0.00150954267776082×R²
    0.00306796000000009×0.00150954267776082×6371000²
    0.00306796000000009×0.00150954267776082×40589641000000     		ar = 157060695.482264m²