Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84224 / 18176
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 51.328125°		 ← 62.42 m → N 78.206563°
E 51.330872°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.206002°
E 51.328125°		 ← 62.43 m →
3 894 m²		 N 78.206002°
E 51.330872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642581939697266 y=0.138675689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642581939697266 × 217)
    floor (0.642581939697266 × 131072)
    floor (84224.5)     		tx = 84224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138675689697266 × 217)
    floor (0.138675689697266 × 131072)
    floor (18176.5)     		ty = 18176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84224 / 18176 ti = "17/84224/18176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84224/18176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84224 ÷ 217
    84224 ÷ 131072     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18176 ÷ 217
    18176 ÷ 131072     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84224 KachelY 18176 0.89584478 1.36496202 51.328125 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 84225 KachelY 18176 0.89589272 1.36496202 51.330872 78.206563
    Unten links KachelX 84224 KachelY + 1 18177 0.89584478 1.36495223 51.328125 78.206002
    Unten rechts KachelX + 1 84225 KachelY + 1 18177 0.89589272 1.36495223 51.330872 78.206002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36495223) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36495223) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89589272) × cos(1.36496202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 62.4241119017896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89589272) × cos(1.36495223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204393509524946 × 6371000     		du = 62.4270388978128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36495223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204393509524946)×R²
    abs(0.89589272-0.89584478)×9.58333119929766e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58333119929766e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58333119929766e-06×40589641000000     		ar = 3893.61360729073m²