Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84225 / 18689
↖ ↑ ↗
← N 77.915094°
E 51.330872°		 ← 63.93 m → N 77.915094°
E 51.333618°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.914519°
E 51.330872°		 ← 63.93 m →
4 089 m²		 N 77.914519°
E 51.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642589569091797 y=0.142589569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642589569091797 × 217)
    floor (0.642589569091797 × 131072)
    floor (84225.5)     		tx = 84225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142589569091797 × 217)
    floor (0.142589569091797 × 131072)
    floor (18689.5)     		ty = 18689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84225 / 18689 ti = "17/84225/18689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84225/18689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84225 ÷ 217
    84225 ÷ 131072     		x = 0.642585754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18689 ÷ 217
    18689 ÷ 131072     		y = 0.142585754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642585754394531 × 2 - 1) × π
    0.285171508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.89589272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142585754394531 × 2 - 1) × π
    0.714828491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24569993650077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89589272} λ = 0.89589272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24569993650077))-π/2
    2×atan(9.4470255609126)-π/2
    2×1.46533562680317-π/2
    2.93067125360634-1.57079632675     		φ = 1.35987493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89589272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.330872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35987493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84225 KachelY 18689 0.89589272 1.35987493 51.330872 77.915094
    Oben rechts KachelX + 1 84226 KachelY 18689 0.89594065 1.35987493 51.333618 77.915094
    Unten links KachelX 84225 KachelY + 1 18690 0.89589272 1.35986489 51.330872 77.914519
    Unten rechts KachelX + 1 84226 KachelY + 1 18690 0.89594065 1.35986489 51.333618 77.914519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35987493-1.35986489) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dl = 63.9648399988686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35987493-1.35986489) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dr = 63.9648399988686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89589272-0.89594065) × cos(1.35987493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209360965780419 × 6371000     		do = 63.9308895135083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89589272-0.89594065) × cos(1.35986489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209370783267657 × 6371000     		du = 63.9338874013408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35987493)-sin(1.35986489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209360965780419-0.209370783267657)×R²
    abs(0.89594065-0.89589272)×9.8174872377732e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.8174872377732e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.8174872377732e-06×40589641000000     		ar = 4089.42499854662m²