Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84232 / 18696
↖ ↑ ↗
← N 77.911068°
E 51.350098°		 ← 63.95 m → N 77.911068°
E 51.352844°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.910493°
E 51.350098°		 ← 63.95 m →
4 091 m²		 N 77.910493°
E 51.352844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642642974853516 y=0.142642974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642642974853516 × 217)
    floor (0.642642974853516 × 131072)
    floor (84232.5)     		tx = 84232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142642974853516 × 217)
    floor (0.142642974853516 × 131072)
    floor (18696.5)     		ty = 18696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84232 / 18696 ti = "17/84232/18696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84232/18696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84232 ÷ 217
    84232 ÷ 131072     		x = 0.64263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18696 ÷ 217
    18696 ÷ 131072     		y = 0.14263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    0.2852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89622828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14263916015625 × 2 - 1) × π
    0.7147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24536437820343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89622828} λ = 0.89622828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24536437820343))-π/2
    2×atan(9.44385606490553)-π/2
    2×1.46530049463457-π/2
    2.93060098926915-1.57079632675     		φ = 1.35980466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89622828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35980466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.911068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84232 KachelY 18696 0.89622828 1.35980466 51.350098 77.911068
    Oben rechts KachelX + 1 84233 KachelY 18696 0.89627621 1.35980466 51.352844 77.911068
    Unten links KachelX 84232 KachelY + 1 18697 0.89622828 1.35979462 51.350098 77.910493
    Unten rechts KachelX + 1 84233 KachelY + 1 18697 0.89627621 1.35979462 51.352844 77.910493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35980466-1.35979462) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35980466-1.35979462) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89622828-0.89627621) × cos(1.35980466) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20942967796961 × 6371000     		do = 63.9518716070854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89622828-0.89627621) × cos(1.35979462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209439495309113 × 6371000     		du = 63.9548694498055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35980466)-sin(1.35979462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20942967796961-0.209439495309113)×R²
    abs(0.89627621-0.89622828)×9.81733950389252e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.81733950389252e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.81733950389252e-06×40589641000000     		ar = 4090.76711330015m²