Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8424 / 5416
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
E  5.097656°		 ← 1 506.07 m → N 51.944265°
E  5.119629°		 →
↑
1 506.30 m
↓
↑
1 506.30 m
↓
N 51.930718°
E  5.097656°		 ← 1 506.52 m →
2 268 922 m²		 N 51.930718°
E  5.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514190673828125 y=0.330596923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514190673828125 × 214)
    floor (0.514190673828125 × 16384)
    floor (8424.5)     		tx = 8424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330596923828125 × 214)
    floor (0.330596923828125 × 16384)
    floor (5416.5)     		ty = 5416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8424 / 5416 ti = "14/8424/5416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8424/5416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8424 ÷ 214
    8424 ÷ 16384     		x = 0.51416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5416 ÷ 214
    5416 ÷ 16384     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51416015625 × 2 - 1) × π
    0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08897089} λ = 0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8424 KachelY 5416 0.08897089 0.90659845 5.097656 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 8425 KachelY 5416 0.08935438 0.90659845 5.119629 51.944265
    Unten links KachelX 8424 KachelY + 1 5417 0.08897089 0.90636202 5.097656 51.930718
    Unten rechts KachelX + 1 8425 KachelY + 1 5417 0.08935438 0.90636202 5.119629 51.930718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90636202) × R
    0.000236429999999954 × 6371000     		dl = 1506.29552999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90636202) × R
    0.000236429999999954 × 6371000     		dr = 1506.29552999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08897089-0.08935438) × cos(0.90659845) × R
    0.00038349 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 1506.06534708175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08897089-0.08935438) × cos(0.90636202) × R
    0.00038349 × 0.616613880541325 × 6371000     		du = 1506.52015265786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90636202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616613880541325)×R²
    abs(0.08935438-0.08897089)×0.000186150467806567×R²
    0.00038349×0.000186150467806567×6371000²
    0.00038349×0.000186150467806567×40589641000000     		ar = 2268922.04656901m²