Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84240 / 18704
↖ ↑ ↗
← N 77.906465°
E 51.372070°		 ← 63.99 m → N 77.906465°
E 51.374817°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.905890°
E 51.372070°		 ← 63.99 m →
4 093 m²		 N 77.905890°
E 51.374817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642704010009766 y=0.142704010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642704010009766 × 217)
    floor (0.642704010009766 × 131072)
    floor (84240.5)     		tx = 84240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142704010009766 × 217)
    floor (0.142704010009766 × 131072)
    floor (18704.5)     		ty = 18704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84240 / 18704 ti = "17/84240/18704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84240/18704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84240 ÷ 217
    84240 ÷ 131072     		x = 0.6427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18704 ÷ 217
    18704 ÷ 131072     		y = 0.1427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6427001953125 × 2 - 1) × π
    0.285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89661177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1427001953125 × 2 - 1) × π
    0.714599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24498088300647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89661177} λ = 0.89661177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24498088300647))-π/2
    2×atan(9.44023508582227)-π/2
    2×1.46526032946697-π/2
    2.93052065893394-1.57079632675     		φ = 1.35972433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89661177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35972433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.906465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84240 KachelY 18704 0.89661177 1.35972433 51.372070 77.906465
    Oben rechts KachelX + 1 84241 KachelY 18704 0.89665971 1.35972433 51.374817 77.906465
    Unten links KachelX 84240 KachelY + 1 18705 0.89661177 1.35971429 51.372070 77.905890
    Unten rechts KachelX + 1 84241 KachelY + 1 18705 0.89665971 1.35971429 51.374817 77.905890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35972433-1.35971429) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dl = 63.9648399988686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35972433-1.35971429) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dr = 63.9648399988686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89661177-0.89665971) × cos(1.35972433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209508225872522 × 6371000     		do = 63.9892049231603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89661177-0.89665971) × cos(1.35971429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209518043043083 × 6371000     		du = 63.9922033397434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35972433)-sin(1.35971429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209508225872522-0.209518043043083)×R²
    abs(0.89665971-0.89661177)×9.81717056022791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81717056022791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81717056022791e-06×40589641000000     		ar = 4093.15515116718m²