Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 844 / 1356
↖ ↑ ↗
← S 50.289339°
W 31.640625°		 ← 12.488 km → S 50.289339°
W 31.464844°		 →
↑
12.473 km
↓
↑
12.473 km
↓
S 50.401515°
W 31.640625°		 ← 12.459 km →
155.586 km²		 S 50.401515°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412353515625 y=0.662353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412353515625 × 211)
    floor (0.412353515625 × 2048)
    floor (844.5)     		tx = 844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662353515625 × 211)
    floor (0.662353515625 × 2048)
    floor (1356.5)     		ty = 1356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 844 / 1356 ti = "11/844/1356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/844/1356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 844 ÷ 211
    844 ÷ 2048     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1356 ÷ 211
    1356 ÷ 2048     		y = 0.662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01856324312695))-π/2
    2×atan(0.361113399792782)-π/2
    2×0.346540889095564-π/2
    0.693081778191129-1.57079632675     		φ = -0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 844 KachelY 1356 -0.55223308 -0.87771455 -31.640625 -50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 845 KachelY 1356 -0.54916512 -0.87771455 -31.464844 -50.289339
    Unten links KachelX 844 KachelY + 1 1357 -0.55223308 -0.87967239 -31.640625 -50.401515
    Unten rechts KachelX + 1 845 KachelY + 1 1357 -0.54916512 -0.87967239 -31.464844 -50.401515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87771455--0.87967239) × R
    0.00195783999999999 × 6371000     		dl = 12473.3986399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87771455--0.87967239) × R
    0.00195783999999999 × 6371000     		dr = 12473.3986399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(-0.87771455) × R
    0.00306796000000009 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 12488.1365505862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.54916512) × cos(-0.87967239) × R
    0.00306796000000009 × 0.637403611766001 × 6371000     		du = 12458.6738876657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87771455)-sin(-0.87967239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.637403611766001)×R²
    abs(-0.54916512--0.55223308)×0.00150735206067099×R²
    0.00306796000000009×0.00150735206067099×6371000²
    0.00306796000000009×0.00150735206067099×40589641000000     		ar = 155585805.394895m²