Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8440 / 8456
↖ ↑ ↗
← S  5.790897°
E  5.449219°		 ← 2 430.75 m → S  5.790897°
E  5.471191°		 →
↑
2 430.73 m
↓
↑
2 430.73 m
↓
S  5.812757°
E  5.449219°		 ← 2 430.65 m →
5 908 368 m²		 S  5.812757°
E  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515167236328125 y=0.516143798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515167236328125 × 214)
    floor (0.515167236328125 × 16384)
    floor (8440.5)     		tx = 8440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516143798828125 × 214)
    floor (0.516143798828125 × 16384)
    floor (8456.5)     		ty = 8456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8440 / 8456 ti = "14/8440/8456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8440/8456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8440 ÷ 214
    8440 ÷ 16384     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8456 ÷ 214
    8456 ÷ 16384     		y = 0.51611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101242731997559))-π/2
    2×atan(0.903713646042313)-π/2
    2×0.734863055384957-π/2
    1.46972611076991-1.57079632675     		φ = -0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8440 KachelY 8456 0.09510681 -0.10107022 5.449219 -5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 8441 KachelY 8456 0.09549030 -0.10107022 5.471191 -5.790897
    Unten links KachelX 8440 KachelY + 1 8457 0.09510681 -0.10145175 5.449219 -5.812757
    Unten rechts KachelX + 1 8441 KachelY + 1 8457 0.09549030 -0.10145175 5.471191 -5.812757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10107022--0.10145175) × R
    0.000381529999999991 × 6371000     		dl = 2430.72762999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10107022--0.10145175) × R
    0.000381529999999991 × 6371000     		dr = 2430.72762999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09549030) × cos(-0.10107022) × R
    0.00038349 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 2430.7464584106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09549030) × cos(-0.10145175) × R
    0.00038349 × 0.994858183642027 × 6371000     		du = 2430.65222822674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10107022)-sin(-0.10145175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.994858183642027)×R²
    abs(0.09549030-0.09510681)×3.85681129027038e-05×R²
    0.00038349×3.85681129027038e-05×6371000²
    0.00038349×3.85681129027038e-05×40589641000000     		ar = 5908368.12569827m²