Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84480 / 18944
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 52.031250°		 ← 64.70 m → N 77.767582°
E 52.033996°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.767001°
E 52.031250°		 ← 64.70 m →
4 184 m²		 N 77.767001°
E 52.033996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644535064697266 y=0.144535064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644535064697266 × 217)
    floor (0.644535064697266 × 131072)
    floor (84480.5)     		tx = 84480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144535064697266 × 217)
    floor (0.144535064697266 × 131072)
    floor (18944.5)     		ty = 18944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84480 / 18944 ti = "17/84480/18944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84480/18944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84480 ÷ 217
    84480 ÷ 131072     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18944 ÷ 217
    18944 ÷ 131072     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84480 KachelY 18944 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 84481 KachelY 18944 0.90816456 1.35730036 52.033996 77.767582
    Unten links KachelX 84480 KachelY + 1 18945 0.90811663 1.35729021 52.031250 77.767001
    Unten rechts KachelX + 1 84481 KachelY + 1 18945 0.90816456 1.35729021 52.033996 77.767001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35729021) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35729021) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90816456) × cos(1.35730036) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 64.6994298094315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90816456) × cos(1.35729021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211887702154248 × 6371000     		du = 64.7024588618961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35729021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.211887702154248)×R²
    abs(0.90816456-0.90811663)×9.9195452182288e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.9195452182288e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.9195452182288e-06×40589641000000     		ar = 4183.92862116276m²