Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8455 / 8455
↖ ↑ ↗
← S  5.769036°
E  5.778809°		 ← 2 430.84 m → S  5.769036°
E  5.800781°		 →
↑
2 430.86 m
↓
↑
2 430.86 m
↓
S  5.790897°
E  5.778809°		 ← 2 430.75 m →
5 908 906 m²		 S  5.790897°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516082763671875 y=0.516082763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516082763671875 × 214)
    floor (0.516082763671875 × 16384)
    floor (8455.5)     		tx = 8455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516082763671875 × 214)
    floor (0.516082763671875 × 16384)
    floor (8455.5)     		ty = 8455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8455 / 8455 ti = "14/8455/8455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8455/8455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8455 ÷ 214
    8455 ÷ 16384     		x = 0.51605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8455 ÷ 214
    8455 ÷ 16384     		y = 0.51605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51605224609375 × 2 - 1) × π
    0.0321044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10085924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.100859236800598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10085924} λ = 0.10085924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.100859236800598))-π/2
    2×atan(0.904060282347429)-π/2
    2×0.735053828134145-π/2
    1.47010765626829-1.57079632675     		φ = -0.10068867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10085924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10068867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.769036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8455 KachelY 8455 0.10085924 -0.10068867 5.778809 -5.769036
    Oben rechts KachelX + 1 8456 KachelY 8455 0.10124273 -0.10068867 5.800781 -5.769036
    Unten links KachelX 8455 KachelY + 1 8456 0.10085924 -0.10107022 5.778809 -5.790897
    Unten rechts KachelX + 1 8456 KachelY + 1 8456 0.10124273 -0.10107022 5.800781 -5.790897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10068867--0.10107022) × R
    0.000381550000000008 × 6371000     		dl = 2430.85505000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10068867--0.10107022) × R
    0.000381550000000008 × 6371000     		dr = 2430.85505000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10085924-0.10124273) × cos(-0.10068867) × R
    0.00038349 × 0.994935177055921 × 6371000     		do = 2430.8403396743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10085924-0.10124273) × cos(-0.10107022) × R
    0.00038349 × 0.99489675175493 × 6371000     		du = 2430.7464584106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10068867)-sin(-0.10107022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994935177055921-0.99489675175493)×R²
    abs(0.10124273-0.10085924)×3.8425300991296e-05×R²
    0.00038349×3.8425300991296e-05×6371000²
    0.00038349×3.8425300991296e-05×40589641000000     		ar = 5908906.48125429m²