Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84608 / 19072
↖ ↑ ↗
← N 77.692870°
E 52.382813°		 ← 65.10 m → N 77.692870°
E 52.385559°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.692285°
E 52.382813°		 ← 65.11 m →
4 239 m²		 N 77.692285°
E 52.385559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.645511627197266 y=0.145511627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.645511627197266 × 217)
    floor (0.645511627197266 × 131072)
    floor (84608.5)     		tx = 84608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145511627197266 × 217)
    floor (0.145511627197266 × 131072)
    floor (19072.5)     		ty = 19072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84608 / 19072 ti = "17/84608/19072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84608/19072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84608 ÷ 217
    84608 ÷ 131072     		x = 0.6455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19072 ÷ 217
    19072 ÷ 131072     		y = 0.1455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    0.291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.91425255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    0.708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22734010394629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91425255} λ = 0.91425255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22734010394629))-π/2
    2×atan(9.27516227174414)-π/2
    2×1.46339635973844-π/2
    2.92679271947688-1.57079632675     		φ = 1.35599639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91425255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35599639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84608 KachelY 19072 0.91425255 1.35599639 52.382813 77.692870
    Oben rechts KachelX + 1 84609 KachelY 19072 0.91430049 1.35599639 52.385559 77.692870
    Unten links KachelX 84608 KachelY + 1 19073 0.91425255 1.35598617 52.382813 77.692285
    Unten rechts KachelX + 1 84609 KachelY + 1 19073 0.91430049 1.35598617 52.385559 77.692285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35599639-1.35598617) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35599639-1.35598617) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91425255-0.91430049) × cos(1.35599639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213151967003705 × 6371000     		do = 65.1020972545194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91425255-0.91430049) × cos(1.35598617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213161952127342 × 6371000     		du = 65.1051469682953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35599639)-sin(1.35598617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213151967003705-0.213161952127342)×R²
    abs(0.91430049-0.91425255)×9.98512363711845e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98512363711845e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98512363711845e-06×40589641000000     		ar = 4239.00230353518m²