Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8464 / 24848
↖ ↑ ↗
← N 39.842286°
W133.505860°		 ← 469.02 m → N 39.842286°
W133.500366°		 →
↑
468.97 m
↓
↑
468.97 m
↓
N 39.838068°
W133.505860°		 ← 469.05 m →
219 962 m²		 N 39.838068°
W133.500366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129158020019531 y=0.379158020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129158020019531 × 216)
    floor (0.129158020019531 × 65536)
    floor (8464.5)     		tx = 8464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379158020019531 × 216)
    floor (0.379158020019531 × 65536)
    floor (24848.5)     		ty = 24848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8464 / 24848 ti = "16/8464/24848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8464/24848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8464 ÷ 216
    8464 ÷ 65536     		x = 0.129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24848 ÷ 216
    24848 ÷ 65536     		y = 0.379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.74169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33011682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33011682} λ = -2.33011682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759320489981689))-π/2
    2×atan(2.13682373392855)-π/2
    2×1.13308769968076-π/2
    2.26617539936151-1.57079632675     		φ = 0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33011682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.505860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8464 KachelY 24848 -2.33011682 0.69537907 -133.505860 39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 8465 KachelY 24848 -2.33002094 0.69537907 -133.500366 39.842286
    Unten links KachelX 8464 KachelY + 1 24849 -2.33011682 0.69530546 -133.505860 39.838068
    Unten rechts KachelX + 1 8465 KachelY + 1 24849 -2.33002094 0.69530546 -133.500366 39.838068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69537907-0.69530546) × R
    7.36099999999462e-05 × 6371000     		dl = 468.969309999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69537907-0.69530546) × R
    7.36099999999462e-05 × 6371000     		dr = 468.969309999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33011682--2.33002094) × cos(0.69537907) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 469.018422004575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33011682--2.33002094) × cos(0.69530546) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.767858053826815 × 6371000     		du = 469.047228611894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69537907)-sin(0.69530546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767858053826815)×R²
    abs(-2.33002094--2.33011682)×4.71581198741022e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.71581198741022e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.71581198741022e-05×40589641000000     		ar = 219962.000551529m²