Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84736 / 18688
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
E 52.734375°		 ← 63.94 m → N 77.915669°
E 52.737122°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.915094°
E 52.734375°		 ← 63.94 m →
4 086 m²		 N 77.915094°
E 52.737122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.646488189697266 y=0.142581939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.646488189697266 × 217)
    floor (0.646488189697266 × 131072)
    floor (84736.5)     		tx = 84736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142581939697266 × 217)
    floor (0.142581939697266 × 131072)
    floor (18688.5)     		ty = 18688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84736 / 18688 ti = "17/84736/18688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84736/18688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84736 ÷ 217
    84736 ÷ 131072     		x = 0.646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18688 ÷ 217
    18688 ÷ 131072     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.646484375 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.92038847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92038847} λ = 0.92038847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92038847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84736 KachelY 18688 0.92038847 1.35988496 52.734375 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 84737 KachelY 18688 0.92043641 1.35988496 52.737122 77.915669
    Unten links KachelX 84736 KachelY + 1 18689 0.92038847 1.35987493 52.734375 77.915094
    Unten rechts KachelX + 1 84737 KachelY + 1 18689 0.92043641 1.35987493 52.737122 77.915094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35987493) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dl = 63.9011300006704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35987493) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dr = 63.9011300006704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92038847-0.92043641) × cos(1.35988496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 63.9412323673835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92038847-0.92043641) × cos(1.35987493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209360965780419 × 6371000     		du = 63.9442279005571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35987493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.209360965780419)×R²
    abs(0.92043641-0.92038847)×9.80772993672274e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80772993672274e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80772993672274e-06×40589641000000     		ar = 4086.01271094311m²