Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 848 / 1488
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
W 30.937500°		 ← 8 899.44 m → S 62.915233°
W 30.761719°		 →
↑
8 887.29 m
↓
↑
8 887.29 m
↓
S 62.995159°
W 30.937500°		 ← 8 875.16 m →
78 984 025 m²		 S 62.995159°
W 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414306640625 y=0.726806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414306640625 × 211)
    floor (0.414306640625 × 2048)
    floor (848.5)     		tx = 848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726806640625 × 211)
    floor (0.726806640625 × 2048)
    floor (1488.5)     		ty = 1488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 848 / 1488 ti = "11/848/1488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/848/1488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 848 ÷ 211
    848 ÷ 2048     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1488 ÷ 211
    1488 ÷ 2048     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 848 KachelY 1488 -0.53996124 -1.09807797 -30.937500 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 849 KachelY 1488 -0.53689328 -1.09807797 -30.761719 -62.915233
    Unten links KachelX 848 KachelY + 1 1489 -0.53996124 -1.09947293 -30.937500 -62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 849 KachelY + 1 1489 -0.53689328 -1.09947293 -30.761719 -62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.09947293) × R
    0.00139495999999983 × 6371000     		dl = 8887.29015999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.09947293) × R
    0.00139495999999983 × 6371000     		dr = 8887.29015999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53689328) × cos(-1.09807797) × R
    0.00306795999999998 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 8899.4420485951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53689328) × cos(-1.09947293) × R
    0.00306795999999998 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 8875.15768678739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.454065787061965)×R²
    abs(-0.53689328--0.53996124)×0.00124242275423836×R²
    0.00306795999999998×0.00124242275423836×6371000²
    0.00306795999999998×0.00124242275423836×40589641000000     		ar = 78984025.4711091m²