Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 848 / 208
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E118.125000°		 ← 11.823 km → N 72.395706°
E118.476562°		 →
↑
11.858 km
↓
↑
11.858 km
↓
N 72.289067°
E118.125000°		 ← 11.892 km →
140.604 km²		 N 72.289067°
E118.476562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82861328125 y=0.20361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82861328125 × 210)
    floor (0.82861328125 × 1024)
    floor (848.5)     		tx = 848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20361328125 × 210)
    floor (0.20361328125 × 1024)
    floor (208.5)     		ty = 208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 848 / 208 ti = "10/848/208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/848/208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 848 ÷ 210
    848 ÷ 1024     		x = 0.828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 208 ÷ 210
    208 ÷ 1024     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828125 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06167018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06167018} λ = 2.06167018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06167018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 848 KachelY 208 2.06167018 1.26354343 118.125000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 849 KachelY 208 2.06780610 1.26354343 118.476562 72.395706
    Unten links KachelX 848 KachelY + 1 209 2.06167018 1.26168224 118.125000 72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 849 KachelY + 1 209 2.06780610 1.26168224 118.476562 72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26168224) × R
    0.00186118999999985 × 6371000     		dl = 11857.641489999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26168224) × R
    0.00186118999999985 × 6371000     		dr = 11857.641489999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06167018-2.06780610) × cos(1.26354343) × R
    0.00613591999999974 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 11823.0202395925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06167018-2.06780610) × cos(1.26168224) × R
    0.00613591999999974 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 11892.3498806158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.304214831957139)×R²
    abs(2.06780610-2.06167018)×0.00177350189872233×R²
    0.00613591999999974×0.00177350189872233×6371000²
    0.00613591999999974×0.00177350189872233×40589641000000     		ar = 140604218.932115m²