Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8484 / 8484
↖ ↑ ↗
← S  6.402649°
E  6.416016°		 ← 2 427.98 m → S  6.402649°
E  6.437988°		 →
↑
2 427.92 m
↓
↑
2 427.92 m
↓
S  6.424484°
E  6.416016°		 ← 2 427.87 m →
5 894 816 m²		 S  6.424484°
E  6.437988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517852783203125 y=0.517852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517852783203125 × 214)
    floor (0.517852783203125 × 16384)
    floor (8484.5)     		tx = 8484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517852783203125 × 214)
    floor (0.517852783203125 × 16384)
    floor (8484.5)     		ty = 8484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8484 / 8484 ti = "14/8484/8484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8484/8484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8484 ÷ 214
    8484 ÷ 16384     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8484 ÷ 214
    8484 ÷ 16384     		y = 0.517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.03564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.111980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.111980597512451))-π/2
    2×atan(0.894061604351217)-π/2
    2×0.72952451563322-π/2
    1.45904903126644-1.57079632675     		φ = -0.11174730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11174730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.402649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8484 KachelY 8484 0.11198060 -0.11174730 6.416016 -6.402649
    Oben rechts KachelX + 1 8485 KachelY 8484 0.11236409 -0.11174730 6.437988 -6.402649
    Unten links KachelX 8484 KachelY + 1 8485 0.11198060 -0.11212839 6.416016 -6.424484
    Unten rechts KachelX + 1 8485 KachelY + 1 8485 0.11236409 -0.11212839 6.437988 -6.424484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11174730--0.11212839) × R
    0.000381090000000001 × 6371000     		dl = 2427.92439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11174730--0.11212839) × R
    0.000381090000000001 × 6371000     		dr = 2427.92439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11236409) × cos(-0.11174730) × R
    0.00038349 × 0.993762765127179 × 6371000     		do = 2427.97588551002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11236409) × cos(-0.11212839) × R
    0.00038349 × 0.993720195763811 × 6371000     		du = 2427.87187941184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11174730)-sin(-0.11212839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993762765127179-0.993720195763811)×R²
    abs(0.11236409-0.11198060)×4.25693633675506e-05×R²
    0.00038349×4.25693633675506e-05×6371000²
    0.00038349×4.25693633675506e-05×40589641000000     		ar = 5894815.68263219m²