Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 849 / 1361
↖ ↑ ↗
← S 50.847573°
W 30.761719°		 ← 12.341 km → S 50.847573°
W 30.585937°		 →
↑
12.326 km
↓
↑
12.326 km
↓
S 50.958427°
W 30.761719°		 ← 12.312 km →
151.941 km²		 S 50.958427°
W 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414794921875 y=0.664794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414794921875 × 211)
    floor (0.414794921875 × 2048)
    floor (849.5)     		tx = 849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664794921875 × 211)
    floor (0.664794921875 × 2048)
    floor (1361.5)     		ty = 1361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 849 / 1361 ti = "11/849/1361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/849/1361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 849 ÷ 211
    849 ÷ 2048     		x = 0.41455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1361 ÷ 211
    1361 ÷ 2048     		y = 0.66455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53689328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53689328} λ = -0.53689328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03390305100537))-π/2
    2×atan(0.355616259945978)-π/2
    2×0.341669381062138-π/2
    0.683338762124276-1.57079632675     		φ = -0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53689328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 849 KachelY 1361 -0.53689328 -0.88745756 -30.761719 -50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 850 KachelY 1361 -0.53382531 -0.88745756 -30.585937 -50.847573
    Unten links KachelX 849 KachelY + 1 1362 -0.53689328 -0.88939233 -30.761719 -50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 850 KachelY + 1 1362 -0.53382531 -0.88939233 -30.585937 -50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88745756--0.88939233) × R
    0.00193476999999997 × 6371000     		dl = 12326.4196699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88745756--0.88939233) × R
    0.00193476999999997 × 6371000     		dr = 12326.4196699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53689328--0.53382531) × cos(-0.88745756) × R
    0.00306797000000003 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 12341.087164381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53689328--0.53382531) × cos(-0.88939233) × R
    0.00306797000000003 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 12311.7381067719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88745756)-sin(-0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.629884113524226)×R²
    abs(-0.53382531--0.53689328)×0.00150153495587335×R²
    0.00306797000000003×0.00150153495587335×6371000²
    0.00306797000000003×0.00150153495587335×40589641000000     		ar = 151940582.568738m²