Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84992 / 19456
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 66.28 m → N 77.466029°
E 53.440247°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.465432°
E 53.437500°		 ← 66.29 m →
4 396 m²		 N 77.465432°
E 53.440247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648441314697266 y=0.148441314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648441314697266 × 217)
    floor (0.648441314697266 × 131072)
    floor (84992.5)     		tx = 84992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148441314697266 × 217)
    floor (0.148441314697266 × 131072)
    floor (19456.5)     		ty = 19456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84992 / 19456 ti = "17/84992/19456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84992/19456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84992 ÷ 217
    84992 ÷ 131072     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19456 ÷ 217
    19456 ÷ 131072     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84992 KachelY 19456 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 84993 KachelY 19456 0.93270826 1.35203726 53.440247 77.466029
    Unten links KachelX 84992 KachelY + 1 19457 0.93266032 1.35202685 53.437500 77.465432
    Unten rechts KachelX + 1 84993 KachelY + 1 19457 0.93270826 1.35202685 53.440247 77.465432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35202685) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35202685) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93270826) × cos(1.35203726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 66.283015130538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93270826) × cos(1.35202685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217028593706475 × 6371000     		du = 66.286118833916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35202685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217028593706475)×R²
    abs(0.93270826-0.93266032)×1.01618919809143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01618919809143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01618919809143e-05×40589641000000     		ar = 4396.13234266348m²