Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84993 / 19457
↖ ↑ ↗
← N 77.465432°
E 53.440247°		 ← 66.27 m → N 77.465432°
E 53.442993°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.464836°
E 53.440247°		 ← 66.28 m →
4 391 m²		 N 77.464836°
E 53.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648448944091797 y=0.148448944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648448944091797 × 217)
    floor (0.648448944091797 × 131072)
    floor (84993.5)     		tx = 84993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148448944091797 × 217)
    floor (0.148448944091797 × 131072)
    floor (19457.5)     		ty = 19457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84993 / 19457 ti = "17/84993/19457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84993/19457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84993 ÷ 217
    84993 ÷ 131072     		x = 0.648445129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19457 ÷ 217
    19457 ÷ 131072     		y = 0.148445129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648445129394531 × 2 - 1) × π
    0.296890258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.93270826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148445129394531 × 2 - 1) × π
    0.703109741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.20888439759257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93270826} λ = 0.93270826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20888439759257))-π/2
    2×atan(9.1055525483457)-π/2
    2×1.46141158935596-π/2
    2.92282317871191-1.57079632675     		φ = 1.35202685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93270826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.440247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35202685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.465432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84993 KachelY 19457 0.93270826 1.35202685 53.440247 77.465432
    Oben rechts KachelX + 1 84994 KachelY 19457 0.93275619 1.35202685 53.442993 77.465432
    Unten links KachelX 84993 KachelY + 1 19458 0.93270826 1.35201645 53.440247 77.464836
    Unten rechts KachelX + 1 84994 KachelY + 1 19458 0.93275619 1.35201645 53.442993 77.464836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35202685-1.35201645) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dl = 66.258399999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35202685-1.35201645) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dr = 66.258399999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93270826-0.93275619) × cos(1.35202685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217028593706475 × 6371000     		do = 66.272291942295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93270826-0.93275619) × cos(1.35201645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217038745813307 × 6371000     		du = 66.275392010246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35202685)-sin(1.35201645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217028593706475-0.217038745813307)×R²
    abs(0.93275619-0.93270826)×1.01521068319177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01521068319177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01521068319177e-05×40589641000000     		ar = 4391.19873108045m²