Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 85 / 117
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E 59.062500°		 ← 46.127 km → S 81.518272°
E 61.875000°		 →
↑
45.024 km
↓
↑
45.024 km
↓
S 81.923187°
E 59.062500°		 ← 43.940 km →
2 027.60 km²		 S 81.923187°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66796875 y=0.91796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66796875 × 27)
    floor (0.66796875 × 128)
    floor (85.5)     		tx = 85
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91796875 × 27)
    floor (0.91796875 × 128)
    floor (117.5)     		ty = 117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 85 / 117 ti = "7/85/117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/85/117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85 ÷ 27
    85 ÷ 128     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117 ÷ 27
    117 ÷ 128     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85 KachelY 117 1.03083509 -1.42276224 59.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 86 KachelY 117 1.07992247 -1.42276224 61.875000 -81.518272
    Unten links KachelX 85 KachelY + 1 118 1.03083509 -1.42982934 59.062500 -81.923187
    Unten rechts KachelX + 1 86 KachelY + 1 118 1.07992247 -1.42982934 61.875000 -81.923187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42982934) × R
    0.00706709999999999 × 6371000     		dl = 45024.4941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42982934) × R
    0.00706709999999999 × 6371000     		dr = 45024.4941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.07992247) × cos(-1.42276224) × R
    0.04908738 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 46126.6411743164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.07992247) × cos(-1.42982934) × R
    0.04908738 × 0.140500575046616 × 6371000     		du = 43939.5454037949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42982934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.140500575046616)×R²
    abs(1.07992247-1.03083509)×0.00699343178488498×R²
    0.04908738×0.00699343178488498×6371000²
    0.04908738×0.00699343178488498×40589641000000     		ar = 2027600681.96252m²