Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 85 / 21
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
E 59.062500°		 ← 74.677 km → N 76.184995°
E 61.875000°		 →
↑
76.484 km
↓
↑
76.484 km
↓
N 75.497157°
E 59.062500°		 ← 78.318 km →
5 850.92 km²		 N 75.497157°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66796875 y=0.16796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66796875 × 27)
    floor (0.66796875 × 128)
    floor (85.5)     		tx = 85
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16796875 × 27)
    floor (0.16796875 × 128)
    floor (21.5)     		ty = 21
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 85 / 21 ti = "7/85/21"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/85/21.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85 ÷ 27
    85 ÷ 128     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21 ÷ 27
    21 ÷ 128     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85 KachelY 21 1.03083509 1.32967901 59.062500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 86 KachelY 21 1.07992247 1.32967901 61.875000 76.184995
    Unten links KachelX 85 KachelY + 1 22 1.03083509 1.31767397 59.062500 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 86 KachelY + 1 22 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.31767397) × R
    0.01200504 × 6371000     		dl = 76484.1098400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.31767397) × R
    0.01200504 × 6371000     		dr = 76484.1098400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.07992247) × cos(1.32967901) × R
    0.04908738 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 74677.4599389767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.07992247) × cos(1.31767397) × R
    0.04908738 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 78317.7874575288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.250428038638996)×R²
    abs(1.07992247-1.03083509)×0.0116402685784367×R²
    0.04908738×0.0116402685784367×6371000²
    0.04908738×0.0116402685784367×40589641000000     		ar = 5850922923.66973m²