Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85008 / 19472
↖ ↑ ↗
← N 77.456488°
E 53.481445°		 ← 66.33 m → N 77.456488°
E 53.484192°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.455891°
E 53.481445°		 ← 66.34 m →
4 399 m²		 N 77.455891°
E 53.484192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648563385009766 y=0.148563385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648563385009766 × 217)
    floor (0.648563385009766 × 131072)
    floor (85008.5)     		tx = 85008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148563385009766 × 217)
    floor (0.148563385009766 × 131072)
    floor (19472.5)     		ty = 19472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85008 / 19472 ti = "17/85008/19472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85008/19472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85008 ÷ 217
    85008 ÷ 131072     		x = 0.6485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19472 ÷ 217
    19472 ÷ 131072     		y = 0.1485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93342731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    0.702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20816534409827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93342731} λ = 0.93342731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20816534409827))-π/2
    2×atan(9.09900752236217)-π/2
    2×1.46133353438184-π/2
    2.92266706876367-1.57079632675     		φ = 1.35187074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93342731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35187074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.456488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85008 KachelY 19472 0.93342731 1.35187074 53.481445 77.456488
    Oben rechts KachelX + 1 85009 KachelY 19472 0.93347525 1.35187074 53.484192 77.456488
    Unten links KachelX 85008 KachelY + 1 19473 0.93342731 1.35186033 53.481445 77.455891
    Unten rechts KachelX + 1 85009 KachelY + 1 19473 0.93347525 1.35186033 53.484192 77.455891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35187074-1.35186033) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35187074-1.35186033) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93342731-0.93347525) × cos(1.35187074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217180980218041 × 6371000     		do = 66.332661596977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93342731-0.93347525) × cos(1.35186033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217191141733676 × 6371000     		du = 66.3357651854095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35187074)-sin(1.35186033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217180980218041-0.217191141733676)×R²
    abs(0.93347525-0.93342731)×1.01615156355983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01615156355983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01615156355983e-05×40589641000000     		ar = 4399.42499740022m²