Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85504 / 20992
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 54.843750°		 ← 71.21 m → N 76.516819°
E 54.846497°		 →
↑
71.16 m
↓
↑
71.16 m
↓
N 76.516179°
E 54.843750°		 ← 71.22 m →
5 068 m²		 N 76.516179°
E 54.846497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652347564697266 y=0.160160064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652347564697266 × 217)
    floor (0.652347564697266 × 131072)
    floor (85504.5)     		tx = 85504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160160064697266 × 217)
    floor (0.160160064697266 × 131072)
    floor (20992.5)     		ty = 20992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85504 / 20992 ti = "17/85504/20992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85504/20992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85504 ÷ 217
    85504 ÷ 131072     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20992 ÷ 217
    20992 ÷ 131072     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85504 KachelY 20992 0.95720401 1.33547042 54.843750 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 85505 KachelY 20992 0.95725195 1.33547042 54.846497 76.516819
    Unten links KachelX 85504 KachelY + 1 20993 0.95720401 1.33545925 54.843750 76.516179
    Unten rechts KachelX + 1 85505 KachelY + 1 20993 0.95725195 1.33545925 54.846497 76.516179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33545925) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dl = 71.1640700003842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33545925) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dr = 71.1640700003842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.95725195) × cos(1.33547042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 71.2130417679977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.95725195) × cos(1.33545925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233170784295477 × 6371000     		du = 71.2163593397799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33545925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.233170784295477)×R²
    abs(0.95725195-0.95720401)×1.08621224333694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08621224333694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08621224333694e-05×40589641000000     		ar = 5067.92793545905m²