Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 856 / 1368
↖ ↑ ↗
← S 51.618016°
W 29.531250°		 ← 12.136 km → S 51.618016°
W 29.355469°		 →
↑
12.122 km
↓
↑
12.122 km
↓
S 51.727028°
W 29.531250°		 ← 12.107 km →
146.932 km²		 S 51.727028°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418212890625 y=0.668212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418212890625 × 211)
    floor (0.418212890625 × 2048)
    floor (856.5)     		tx = 856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668212890625 × 211)
    floor (0.668212890625 × 2048)
    floor (1368.5)     		ty = 1368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 856 / 1368 ti = "11/856/1368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/856/1368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 856 ÷ 211
    856 ÷ 2048     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1368 ÷ 211
    1368 ÷ 2048     		y = 0.66796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66796875 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05537878203516))-π/2
    2×atan(0.348060563245402)-π/2
    2×0.334945992344302-π/2
    0.669891984688605-1.57079632675     		φ = -0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 856 KachelY 1368 -0.51541754 -0.90090434 -29.531250 -51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 857 KachelY 1368 -0.51234958 -0.90090434 -29.355469 -51.618016
    Unten links KachelX 856 KachelY + 1 1369 -0.51541754 -0.90280695 -29.531250 -51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 857 KachelY + 1 1369 -0.51234958 -0.90280695 -29.355469 -51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90090434--0.90280695) × R
    0.00190261000000003 × 6371000     		dl = 12121.5283100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90090434--0.90280695) × R
    0.00190261000000003 × 6371000     		dr = 12121.5283100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.51234958) × cos(-0.90090434) × R
    0.00306795999999998 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 12136.1205420592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.51234958) × cos(-0.90280695) × R
    0.00306795999999998 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 12106.9470540867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90090434)-sin(-0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.619408762868)×R²
    abs(-0.51234958--0.51541754)×0.00149255745588706×R²
    0.00306795999999998×0.00149255745588706×6371000²
    0.00306795999999998×0.00149255745588706×40589641000000     		ar = 146931559.417402m²