Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8577 / 8065
↖ ↑ ↗
← N  2.789425°
E  8.459473°		 ← 2 440.38 m → N  2.789425°
E  8.481446°		 →
↑
2 440.41 m
↓
↑
2 440.41 m
↓
N  2.767478°
E  8.459473°		 ← 2 440.43 m →
5 955 596 m²		 N  2.767478°
E  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523529052734375 y=0.492279052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523529052734375 × 214)
    floor (0.523529052734375 × 16384)
    floor (8577.5)     		tx = 8577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492279052734375 × 214)
    floor (0.492279052734375 × 16384)
    floor (8065.5)     		ty = 8065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8577 / 8065 ti = "14/8577/8065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8577/8065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8577 ÷ 214
    8577 ÷ 16384     		x = 0.52349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8065 ÷ 214
    8065 ÷ 16384     		y = 0.49224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49224853515625 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.048703890013977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14764565} λ = 0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.048703890013977))-π/2
    2×atan(1.04990941604436)-π/2
    2×0.809740486694485-π/2
    1.61948097338897-1.57079632675     		φ = 0.04868465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04868465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.789425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8577 KachelY 8065 0.14764565 0.04868465 8.459473 2.789425
    Oben rechts KachelX + 1 8578 KachelY 8065 0.14802915 0.04868465 8.481446 2.789425
    Unten links KachelX 8577 KachelY + 1 8066 0.14764565 0.04830160 8.459473 2.767478
    Unten rechts KachelX + 1 8578 KachelY + 1 8066 0.14802915 0.04830160 8.481446 2.767478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04868465-0.04830160) × R
    0.000383050000000003 × 6371000     		dl = 2440.41155000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04868465-0.04830160) × R
    0.000383050000000003 × 6371000     		dr = 2440.41155000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14764565-0.14802915) × cos(0.04868465) × R
    0.000383500000000009 × 0.998815136484739 × 6371000     		do = 2440.38354844778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14764565-0.14802915) × cos(0.04830160) × R
    0.000383500000000009 × 0.998833704496789 × 6371000     		du = 2440.42891527241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04868465)-sin(0.04830160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998815136484739-0.998833704496789)×R²
    abs(0.14802915-0.14764565)×1.85680120498022e-05×R²
    0.000383500000000009×1.85680120498022e-05×6371000²
    0.000383500000000009×1.85680120498022e-05×40589641000000     		ar = 5955595.6277442m²