Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85888 / 20352
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 55.898437°		 ← 69.12 m → N 76.920614°
E 55.901184°		 →
↑
69.13 m
↓
↑
69.13 m
↓
N 76.919992°
E 55.898437°		 ← 69.12 m →
4 778 m²		 N 76.919992°
E 55.901184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655277252197266 y=0.155277252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655277252197266 × 217)
    floor (0.655277252197266 × 131072)
    floor (85888.5)     		tx = 85888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155277252197266 × 217)
    floor (0.155277252197266 × 131072)
    floor (20352.5)     		ty = 20352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85888 / 20352 ti = "17/85888/20352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85888/20352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85888 ÷ 217
    85888 ÷ 131072     		x = 0.6552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20352 ÷ 217
    20352 ÷ 131072     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97561178} λ = 0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85888 KachelY 20352 0.97561178 1.34251797 55.898437 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 85889 KachelY 20352 0.97565972 1.34251797 55.901184 76.920614
    Unten links KachelX 85888 KachelY + 1 20353 0.97561178 1.34250712 55.898437 76.919992
    Unten rechts KachelX + 1 85889 KachelY + 1 20353 0.97565972 1.34250712 55.901184 76.919992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34250712) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dl = 69.1253500000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34250712) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dr = 69.1253500000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97561178-0.97565972) × cos(1.34251797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 69.1181138469829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97561178-0.97565972) × cos(1.34250712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226311448871375 × 6371000     		du = 69.1213417419666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34250712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226311448871375)×R²
    abs(0.97565972-0.97561178)×1.05685099877073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05685099877073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05685099877073e-05×40589641000000     		ar = 4777.92537560184m²