Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8592 / 8592
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
E  8.789063°		 ← 2 414.75 m → S  8.754795°
E  8.811035°		 →
↑
2 414.74 m
↓
↑
2 414.74 m
↓
S  8.776511°
E  8.789063°		 ← 2 414.61 m →
5 830 810 m²		 S  8.776511°
E  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524444580078125 y=0.524444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524444580078125 × 214)
    floor (0.524444580078125 × 16384)
    floor (8592.5)     		tx = 8592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524444580078125 × 214)
    floor (0.524444580078125 × 16384)
    floor (8592.5)     		ty = 8592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8592 / 8592 ti = "14/8592/8592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8592/8592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8592 ÷ 214
    8592 ÷ 16384     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8592 ÷ 214
    8592 ÷ 16384     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8592 KachelY 8592 0.15339808 -0.15279999 8.789063 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 8593 KachelY 8592 0.15378157 -0.15279999 8.811035 -8.754795
    Unten links KachelX 8592 KachelY + 1 8593 0.15339808 -0.15317901 8.789063 -8.776511
    Unten rechts KachelX + 1 8593 KachelY + 1 8593 0.15378157 -0.15317901 8.811035 -8.776511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15317901) × R
    0.000379020000000008 × 6371000     		dl = 2414.73642000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15317901) × R
    0.000379020000000008 × 6371000     		dr = 2414.73642000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15378157) × cos(-0.15279999) × R
    0.000383490000000014 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 2414.74835026506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15378157) × cos(-0.15317901) × R
    0.000383490000000014 × 0.988291017110952 × 6371000     		du = 2414.60722982971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15317901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.988291017110952)×R²
    abs(0.15378157-0.15339808)×5.77601428763952e-05×R²
    0.000383490000000014×5.77601428763952e-05×6371000²
    0.000383490000000014×5.77601428763952e-05×40589641000000     		ar = 5830810.47199512m²