Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 86 / 118
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 61.875000°		 ← 43.940 km → S 81.923187°
E 64.687500°		 →
↑
42.889 km
↓
↑
42.889 km
↓
S 82.308893°
E 61.875000°		 ← 41.854 km →
1 839.79 km²		 S 82.308893°
E 64.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67578125 y=0.92578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67578125 × 27)
    floor (0.67578125 × 128)
    floor (86.5)     		tx = 86
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92578125 × 27)
    floor (0.92578125 × 128)
    floor (118.5)     		ty = 118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 86 / 118 ti = "7/86/118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/86/118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86 ÷ 27
    86 ÷ 128     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118 ÷ 27
    118 ÷ 128     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86 KachelY 118 1.07992247 -1.42982934 61.875000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 87 KachelY 118 1.12900986 -1.42982934 64.687500 -81.923187
    Unten links KachelX 86 KachelY + 1 119 1.07992247 -1.43656118 61.875000 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 87 KachelY + 1 119 1.12900986 -1.43656118 64.687500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.43656118) × R
    0.00673184000000004 × 6371000     		dl = 42888.5526400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.43656118) × R
    0.00673184000000004 × 6371000     		dr = 42888.5526400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.12900986) × cos(-1.42982934) × R
    0.04908739 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 43939.5543550865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.12900986) × cos(-1.43656118) × R
    0.04908739 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 41854.1705645442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.133832377654437)×R²
    abs(1.12900986-1.07992247)×0.0066681973921788×R²
    0.04908739×0.0066681973921788×6371000²
    0.04908739×0.0066681973921788×40589641000000     		ar = 1839791291.62513m²