Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86008 / 20472
↖ ↑ ↗
← N 76.845818°
E 56.228027°		 ← 69.51 m → N 76.845818°
E 56.230774°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.845193°
E 56.228027°		 ← 69.51 m →
4 831 m²		 N 76.845193°
E 56.230774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656192779541016 y=0.156192779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656192779541016 × 217)
    floor (0.656192779541016 × 131072)
    floor (86008.5)     		tx = 86008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156192779541016 × 217)
    floor (0.156192779541016 × 131072)
    floor (20472.5)     		ty = 20472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86008 / 20472 ti = "17/86008/20472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86008/20472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86008 ÷ 217
    86008 ÷ 131072     		x = 0.65618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20472 ÷ 217
    20472 ÷ 131072     		y = 0.15618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15618896484375 × 2 - 1) × π
    0.6876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16022844447821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98136421} λ = 0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16022844447821))-π/2
    2×atan(8.67311875825837)-π/2
    2×1.45600443114863-π/2
    2.91200886229725-1.57079632675     		φ = 1.34121254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34121254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.845818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86008 KachelY 20472 0.98136421 1.34121254 56.228027 76.845818
    Oben rechts KachelX + 1 86009 KachelY 20472 0.98141215 1.34121254 56.230774 76.845818
    Unten links KachelX 86008 KachelY + 1 20473 0.98136421 1.34120163 56.228027 76.845193
    Unten rechts KachelX + 1 86009 KachelY + 1 20473 0.98141215 1.34120163 56.230774 76.845193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34121254-1.34120163) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34121254-1.34120163) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98136421-0.98141215) × cos(1.34121254) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227572250989258 × 6371000     		do = 69.5064231619753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98136421-0.98141215) × cos(1.34120163) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227582874710384 × 6371000     		du = 69.5096679198616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34121254)-sin(1.34120163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227572250989258-0.227582874710384)×R²
    abs(0.98141215-0.98136421)×1.0623721125258e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0623721125258e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0623721125258e-05×40589641000000     		ar = 4831.33812119969m²