Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86012 / 20476
↖ ↑ ↗
← N 76.843318°
E 56.239014°		 ← 69.50 m → N 76.843318°
E 56.241760°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.842692°
E 56.239014°		 ← 69.51 m →
4 836 m²		 N 76.842692°
E 56.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656223297119141 y=0.156223297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656223297119141 × 217)
    floor (0.656223297119141 × 131072)
    floor (86012.5)     		tx = 86012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156223297119141 × 217)
    floor (0.156223297119141 × 131072)
    floor (20476.5)     		ty = 20476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86012 / 20476 ti = "17/86012/20476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86012/20476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86012 ÷ 217
    86012 ÷ 131072     		x = 0.656219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20476 ÷ 217
    20476 ÷ 131072     		y = 0.156219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656219482421875 × 2 - 1) × π
    0.31243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98155596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156219482421875 × 2 - 1) × π
    0.68756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16003669687973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98155596} λ = 0.98155596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16003669687973))-π/2
    2×atan(8.67145586799784)-π/2
    2×1.45598261089487-π/2
    2.91196522178975-1.57079632675     		φ = 1.34116890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98155596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.239014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34116890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.843318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86012 KachelY 20476 0.98155596 1.34116890 56.239014 76.843318
    Oben rechts KachelX + 1 86013 KachelY 20476 0.98160389 1.34116890 56.241760 76.843318
    Unten links KachelX 86012 KachelY + 1 20477 0.98155596 1.34115798 56.239014 76.842692
    Unten rechts KachelX + 1 86013 KachelY + 1 20477 0.98160389 1.34115798 56.241760 76.842692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34116890-1.34115798) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34116890-1.34115798) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98155596-0.98160389) × cos(1.34116890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227614745711222 × 6371000     		do = 69.5049008083551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98155596-0.98160389) × cos(1.34115798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227625379061473 × 6371000     		du = 69.5081478297733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34116890)-sin(1.34115798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227614745711222-0.227625379061473)×R²
    abs(0.98160389-0.98155596)×1.06333502505884e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06333502505884e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06333502505884e-05×40589641000000     		ar = 4835.66064555609m²