Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86015 / 118785
↖ ↑ ↗
← S 81.093639°
E 56.247254°		 ← 47.28 m → S 81.093639°
E 56.250000°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.094065°
E 56.247254°		 ← 47.27 m →
2 238 m²		 S 81.094065°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656246185302734 y=0.906261444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656246185302734 × 217)
    floor (0.656246185302734 × 131072)
    floor (86015.5)     		tx = 86015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906261444091797 × 217)
    floor (0.906261444091797 × 131072)
    floor (118785.5)     		ty = 118785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86015 / 118785 ti = "17/86015/118785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86015/118785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86015 ÷ 217
    86015 ÷ 131072     		x = 0.656242370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118785 ÷ 217
    118785 ÷ 131072     		y = 0.906257629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656242370605469 × 2 - 1) × π
    0.312484741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.98169977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906257629394531 × 2 - 1) × π
    -0.812515258789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.55259196786837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98169977} λ = 0.98169977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55259196786837))-π/2
    2×atan(0.0778795428932302)-π/2
    2×0.0777226611422613-π/2
    0.155445322284523-1.57079632675     		φ = -1.41535100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98169977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.247254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41535100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.093639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86015 KachelY 118785 0.98169977 -1.41535100 56.247254 -81.093639
    Oben rechts KachelX + 1 86016 KachelY 118785 0.98174770 -1.41535100 56.250000 -81.093639
    Unten links KachelX 86015 KachelY + 1 118786 0.98169977 -1.41535843 56.247254 -81.094065
    Unten rechts KachelX + 1 86016 KachelY + 1 118786 0.98174770 -1.41535843 56.250000 -81.094065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41535100--1.41535843) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41535100--1.41535843) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98169977-0.98174770) × cos(-1.41535100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154820071976903 × 6371000     		do = 47.2761714636422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98169977-0.98174770) × cos(-1.41535843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154812731558494 × 6371000     		du = 47.2739299785756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41535100)-sin(-1.41535843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154820071976903-0.154812731558494)×R²
    abs(0.98174770-0.98169977)×7.34041840955157e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34041840955157e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34041840955157e-06×40589641000000     		ar = 2237.8368566737m²