Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86016 / 28672
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 101.39 m → N 70.612614°
E 56.252747°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
N 70.611703°
E 56.250000°		 ← 101.39 m →
10 277 m²		 N 70.611703°
E 56.252747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656253814697266 y=0.218753814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656253814697266 × 217)
    floor (0.656253814697266 × 131072)
    floor (86016.5)     		tx = 86016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218753814697266 × 217)
    floor (0.218753814697266 × 131072)
    floor (28672.5)     		ty = 28672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86016 / 28672 ti = "17/86016/28672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86016/28672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86016 ÷ 217
    86016 ÷ 131072     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28672 ÷ 217
    28672 ÷ 131072     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86016 KachelY 28672 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 86017 KachelY 28672 0.98179564 1.23242261 56.252747 70.612614
    Unten links KachelX 86016 KachelY + 1 28673 0.98174770 1.23240670 56.250000 70.611703
    Unten rechts KachelX + 1 86017 KachelY + 1 28673 0.98179564 1.23240670 56.252747 70.611703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23240670) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23240670) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98179564) × cos(1.23242261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 101.387132917555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98179564) × cos(1.23240670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331968473528393 × 6371000     		du = 101.391716684013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23240670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.331968473528393)×R²
    abs(0.98179564-0.98174770)×1.5007793575994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5007793575994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5007793575994e-05×40589641000000     		ar = 10277.0967243233m²