Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86016 / 53248
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 56.250000°		 ← 259.15 m → N 31.952162°
E 56.252747°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 31.949832°
E 56.250000°		 ← 259.16 m →
67 149 m²		 N 31.949832°
E 56.252747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656253814697266 y=0.406253814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656253814697266 × 217)
    floor (0.656253814697266 × 131072)
    floor (86016.5)     		tx = 86016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406253814697266 × 217)
    floor (0.406253814697266 × 131072)
    floor (53248.5)     		ty = 53248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86016 / 53248 ti = "17/86016/53248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86016/53248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86016 ÷ 217
    86016 ÷ 131072     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53248 ÷ 217
    53248 ÷ 131072     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86016 KachelY 53248 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 86017 KachelY 53248 0.98179564 0.55767043 56.252747 31.952162
    Unten links KachelX 86016 KachelY + 1 53249 0.98174770 0.55762976 56.250000 31.949832
    Unten rechts KachelX + 1 86017 KachelY + 1 53249 0.98179564 0.55762976 56.252747 31.949832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55762976) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dl = 259.108570000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55762976) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dr = 259.108570000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98179564) × cos(0.55767043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 259.150761372063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98179564) × cos(0.55762976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848511768653843 × 6371000     		du = 259.157334839639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55762976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.848511768653843)×R²
    abs(0.98179564-0.98174770)×2.15223103849915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15223103849915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15223103849915e-05×40589641000000     		ar = 67149.0348237178m²