Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 86018 / 20482
↖ ↑ ↗
← N 76.839566°
E 56.255493°		 ← 69.52 m → N 76.839566°
E 56.258239°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.838940°
E 56.255493°		 ← 69.53 m →
4 837 m²		 N 76.838940°
E 56.258239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656269073486328 y=0.156269073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656269073486328 × 217)
    floor (0.656269073486328 × 131072)
    floor (86018.5)     		tx = 86018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156269073486328 × 217)
    floor (0.156269073486328 × 131072)
    floor (20482.5)     		ty = 20482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86018 / 20482 ti = "17/86018/20482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86018/20482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86018 ÷ 217
    86018 ÷ 131072     		x = 0.656265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20482 ÷ 217
    20482 ÷ 131072     		y = 0.156265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656265258789062 × 2 - 1) × π
    0.312530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98184358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156265258789062 × 2 - 1) × π
    0.687469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15974907548201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98184358} λ = 0.98184358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15974907548201))-π/2
    2×atan(8.66896213038416)-π/2
    2×1.45594987287426-π/2
    2.91189974574852-1.57079632675     		φ = 1.34110342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98184358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.255493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34110342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.839566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86018 KachelY 20482 0.98184358 1.34110342 56.255493 76.839566
    Oben rechts KachelX + 1 86019 KachelY 20482 0.98189151 1.34110342 56.258239 76.839566
    Unten links KachelX 86018 KachelY + 1 20483 0.98184358 1.34109250 56.255493 76.838940
    Unten rechts KachelX + 1 86019 KachelY + 1 20483 0.98189151 1.34109250 56.258239 76.838940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34110342-1.34109250) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34110342-1.34109250) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98184358-0.98189151) × cos(1.34110342) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227678506456093 × 6371000     		do = 69.5243709186823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98184358-0.98189151) × cos(1.34109250) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227689139643563 × 6371000     		du = 69.5276178903935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34110342)-sin(1.34109250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227678506456093-0.227689139643563)×R²
    abs(0.98189151-0.98184358)×1.06331874699939e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06331874699939e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06331874699939e-05×40589641000000     		ar = 4837.01520497202m²