Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86022 / 20486
↖ ↑ ↗
← N 76.837064°
E 56.266480°		 ← 69.54 m → N 76.837064°
E 56.269226°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.836439°
E 56.266480°		 ← 69.54 m →
4 838 m²		 N 76.836439°
E 56.269226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656299591064453 y=0.156299591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656299591064453 × 217)
    floor (0.656299591064453 × 131072)
    floor (86022.5)     		tx = 86022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156299591064453 × 217)
    floor (0.156299591064453 × 131072)
    floor (20486.5)     		ty = 20486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86022 / 20486 ti = "17/86022/20486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86022/20486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86022 ÷ 217
    86022 ÷ 131072     		x = 0.656295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20486 ÷ 217
    20486 ÷ 131072     		y = 0.156295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656295776367188 × 2 - 1) × π
    0.312591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98203533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156295776367188 × 2 - 1) × π
    0.687408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15955732788353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98203533} λ = 0.98203533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15955732788353))-π/2
    2×atan(8.66730003707064)-π/2
    2×1.45592804243282-π/2
    2.91185608486563-1.57079632675     		φ = 1.34105976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98203533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.266480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34105976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.837064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86022 KachelY 20486 0.98203533 1.34105976 56.266480 76.837064
    Oben rechts KachelX + 1 86023 KachelY 20486 0.98208326 1.34105976 56.269226 76.837064
    Unten links KachelX 86022 KachelY + 1 20487 0.98203533 1.34104884 56.266480 76.836439
    Unten rechts KachelX + 1 86023 KachelY + 1 20487 0.98208326 1.34104884 56.269226 76.836439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34105976-1.34104884) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34105976-1.34104884) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98203533-0.98208326) × cos(1.34105976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227721019568533 × 6371000     		do = 69.5373528091596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98203533-0.98208326) × cos(1.34104884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227731652647441 × 6371000     		du = 69.54059974772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34105976)-sin(1.34104884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227721019568533-0.227731652647441)×R²
    abs(0.98208326-0.98203533)×1.06330789076681e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06330789076681e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06330789076681e-05×40589641000000     		ar = 4837.91837117124m²