Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 86024 / 20487
↖ ↑ ↗
← N 76.836439°
E 56.271973°		 ← 69.56 m → N 76.836439°
E 56.274719°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.835813°
E 56.271973°		 ← 69.56 m →
4 839 m²		 N 76.835813°
E 56.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656314849853516 y=0.156307220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656314849853516 × 217)
    floor (0.656314849853516 × 131072)
    floor (86024.5)     		tx = 86024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156307220458984 × 217)
    floor (0.156307220458984 × 131072)
    floor (20487.5)     		ty = 20487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86024 / 20487 ti = "17/86024/20487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86024/20487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86024 ÷ 217
    86024 ÷ 131072     		x = 0.65631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20487 ÷ 217
    20487 ÷ 131072     		y = 0.156303405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65631103515625 × 2 - 1) × π
    0.3126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98213120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156303405761719 × 2 - 1) × π
    0.687393188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.15950939098391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98213120} λ = 0.98213120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15950939098391))-π/2
    2×atan(8.66688456353712)-π/2
    2×1.45592258418556-π/2
    2.91184516837111-1.57079632675     		φ = 1.34104884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98213120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34104884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.836439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86024 KachelY 20487 0.98213120 1.34104884 56.271973 76.836439
    Oben rechts KachelX + 1 86025 KachelY 20487 0.98217914 1.34104884 56.274719 76.836439
    Unten links KachelX 86024 KachelY + 1 20488 0.98213120 1.34103792 56.271973 76.835813
    Unten rechts KachelX + 1 86025 KachelY + 1 20488 0.98217914 1.34103792 56.274719 76.835813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34104884-1.34103792) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34104884-1.34103792) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98213120-0.98217914) × cos(1.34104884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227731652647441 × 6371000     		do = 69.555108531222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98213120-0.98217914) × cos(1.34103792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227742285699192 × 6371000     		du = 69.5583561389216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34104884)-sin(1.34103792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227731652647441-0.227742285699192)×R²
    abs(0.98217914-0.98213120)×1.06330517515019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06330517515019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06330517515019e-05×40589641000000     		ar = 4839.15368355809m²