Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86028 / 20492
↖ ↑ ↗
← N 76.833311°
E 56.282959°		 ← 69.56 m → N 76.833311°
E 56.285705°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.832685°
E 56.282959°		 ← 69.56 m →
4 839 m²		 N 76.832685°
E 56.285705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656345367431641 y=0.156345367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656345367431641 × 217)
    floor (0.656345367431641 × 131072)
    floor (86028.5)     		tx = 86028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156345367431641 × 217)
    floor (0.156345367431641 × 131072)
    floor (20492.5)     		ty = 20492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86028 / 20492 ti = "17/86028/20492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86028/20492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86028 ÷ 217
    86028 ÷ 131072     		x = 0.656341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20492 ÷ 217
    20492 ÷ 131072     		y = 0.156341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656341552734375 × 2 - 1) × π
    0.31268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98232295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    0.68731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15926970648581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98232295} λ = 0.98232295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15926970648581))-π/2
    2×atan(8.66480749459097)-π/2
    2×1.4558952891273-π/2
    2.91179057825459-1.57079632675     		φ = 1.34099425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98232295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34099425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.833311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86028 KachelY 20492 0.98232295 1.34099425 56.282959 76.833311
    Oben rechts KachelX + 1 86029 KachelY 20492 0.98237088 1.34099425 56.285705 76.833311
    Unten links KachelX 86028 KachelY + 1 20493 0.98232295 1.34098333 56.282959 76.832685
    Unten rechts KachelX + 1 86029 KachelY + 1 20493 0.98237088 1.34098333 56.285705 76.832685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34099425-1.34098333) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34099425-1.34098333) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98232295-0.98237088) × cos(1.34099425) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227784807897496 × 6371000     		do = 69.5568313426209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98232295-0.98237088) × cos(1.34098333) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227795440813472 × 6371000     		du = 69.5600782314283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34099425)-sin(1.34098333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227784807897496-0.227795440813472)×R²
    abs(0.98237088-0.98232295)×1.06329159764718e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06329159764718e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06329159764718e-05×40589641000000     		ar = 4839.27351678298m²