Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86040 / 20504
↖ ↑ ↗
← N 76.825801°
E 56.315918°		 ← 69.61 m → N 76.825801°
E 56.318665°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.825175°
E 56.315918°		 ← 69.61 m →
4 843 m²		 N 76.825175°
E 56.318665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656436920166016 y=0.156436920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656436920166016 × 217)
    floor (0.656436920166016 × 131072)
    floor (86040.5)     		tx = 86040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156436920166016 × 217)
    floor (0.156436920166016 × 131072)
    floor (20504.5)     		ty = 20504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86040 / 20504 ti = "17/86040/20504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86040/20504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86040 ÷ 217
    86040 ÷ 131072     		x = 0.65643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20504 ÷ 217
    20504 ÷ 131072     		y = 0.15643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65643310546875 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98289819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15643310546875 × 2 - 1) × π
    0.6871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15869446369037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98289819} λ = 0.98289819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15869446369037))-π/2
    2×atan(8.65982455984189)-π/2
    2×1.45582975499127-π/2
    2.91165950998254-1.57079632675     		φ = 1.34086318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98289819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34086318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.825801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86040 KachelY 20504 0.98289819 1.34086318 56.315918 76.825801
    Oben rechts KachelX + 1 86041 KachelY 20504 0.98294613 1.34086318 56.318665 76.825801
    Unten links KachelX 86040 KachelY + 1 20505 0.98289819 1.34085226 56.315918 76.825175
    Unten rechts KachelX + 1 86041 KachelY + 1 20505 0.98294613 1.34085226 56.318665 76.825175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34086318-1.34085226) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dl = 69.5713200001615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34086318-1.34085226) × R
    1.09200000000254e-05 × 6371000     		dr = 69.5713200001615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98289819-0.98294613) × cos(1.34086318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227912430306574 × 6371000     		do = 69.610322681538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98289819-0.98294613) × cos(1.34085226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227923062896426 × 6371000     		du = 69.6135701481619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34086318)-sin(1.34085226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227912430306574-0.227923062896426)×R²
    abs(0.98294613-0.98289819)×1.06325898526771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06325898526771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06325898526771e-05×40589641000000     		ar = 4842.99500005398m²