Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86047 / 20511
↖ ↑ ↗
← N 76.821419°
E 56.335144°		 ← 69.63 m → N 76.821419°
E 56.337891°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.820792°
E 56.335144°		 ← 69.64 m →
4 849 m²		 N 76.820792°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656490325927734 y=0.156490325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656490325927734 × 217)
    floor (0.656490325927734 × 131072)
    floor (86047.5)     		tx = 86047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156490325927734 × 217)
    floor (0.156490325927734 × 131072)
    floor (20511.5)     		ty = 20511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86047 / 20511 ti = "17/86047/20511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86047/20511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86047 ÷ 217
    86047 ÷ 131072     		x = 0.656486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20511 ÷ 217
    20511 ÷ 131072     		y = 0.156486511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656486511230469 × 2 - 1) × π
    0.312973022460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.98323375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156486511230469 × 2 - 1) × π
    0.687026977539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.15835890539303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98323375} λ = 0.98323375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15835890539303))-π/2
    2×atan(8.6569191713482)-π/2
    2×1.45579150979077-π/2
    2.91158301958154-1.57079632675     		φ = 1.34078669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98323375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.335144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34078669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.821419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86047 KachelY 20511 0.98323375 1.34078669 56.335144 76.821419
    Oben rechts KachelX + 1 86048 KachelY 20511 0.98328169 1.34078669 56.337891 76.821419
    Unten links KachelX 86047 KachelY + 1 20512 0.98323375 1.34077576 56.335144 76.820792
    Unten rechts KachelX + 1 86048 KachelY + 1 20512 0.98328169 1.34077576 56.337891 76.820792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34078669-1.34077576) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34078669-1.34077576) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98323375-0.98328169) × cos(1.34078669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227986906547949 × 6371000     		do = 69.6330696426724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98323375-0.98328169) × cos(1.34077576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227997548684014 × 6371000     		du = 69.6363200249554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34078669)-sin(1.34077576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227986906547949-0.227997548684014)×R²
    abs(0.98328169-0.98323375)×1.06421360655529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06421360655529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06421360655529e-05×40589641000000     		ar = 4849.0140636257m²