Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86048 / 20513
↖ ↑ ↗
← N 76.820166°
E 56.337891°		 ← 69.63 m → N 76.820166°
E 56.340637°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.819540°
E 56.337891°		 ← 69.63 m →
4 848 m²		 N 76.819540°
E 56.340637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656497955322266 y=0.156505584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656497955322266 × 217)
    floor (0.656497955322266 × 131072)
    floor (86048.5)     		tx = 86048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156505584716797 × 217)
    floor (0.156505584716797 × 131072)
    floor (20513.5)     		ty = 20513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86048 / 20513 ti = "17/86048/20513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86048/20513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86048 ÷ 217
    86048 ÷ 131072     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20513 ÷ 217
    20513 ÷ 131072     		y = 0.156501770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156501770019531 × 2 - 1) × π
    0.686996459960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15826303159379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15826303159379))-π/2
    2×atan(8.65608923940252)-π/2
    2×1.45578058029533-π/2
    2.91156116059066-1.57079632675     		φ = 1.34076483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34076483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.820166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86048 KachelY 20513 0.98328169 1.34076483 56.337891 76.820166
    Oben rechts KachelX + 1 86049 KachelY 20513 0.98332962 1.34076483 56.340637 76.820166
    Unten links KachelX 86048 KachelY + 1 20514 0.98328169 1.34075390 56.337891 76.819540
    Unten rechts KachelX + 1 86049 KachelY + 1 20514 0.98332962 1.34075390 56.340637 76.819540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34076483-1.34075390) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34076483-1.34075390) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98332962) × cos(1.34076483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228008190792842 × 6371000     		do = 69.6250439971723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98332962) × cos(1.34075390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228018832874431 × 6371000     		du = 69.6282936848097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34076483)-sin(1.34075390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228008190792842-0.228018832874431)×R²
    abs(0.98332962-0.98328169)×1.06420815888797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06420815888797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06420815888797e-05×40589641000000     		ar = 4848.45517352589m²