Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86050 / 20514
↖ ↑ ↗
← N 76.819540°
E 56.343384°		 ← 69.64 m → N 76.819540°
E 56.346131°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.818914°
E 56.343384°		 ← 69.65 m →
4 850 m²		 N 76.818914°
E 56.346131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656513214111328 y=0.156513214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656513214111328 × 217)
    floor (0.656513214111328 × 131072)
    floor (86050.5)     		tx = 86050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156513214111328 × 217)
    floor (0.156513214111328 × 131072)
    floor (20514.5)     		ty = 20514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86050 / 20514 ti = "17/86050/20514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86050/20514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86050 ÷ 217
    86050 ÷ 131072     		x = 0.656509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20514 ÷ 217
    20514 ÷ 131072     		y = 0.156509399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656509399414062 × 2 - 1) × π
    0.313018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98337756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156509399414062 × 2 - 1) × π
    0.686981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15821509469417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98337756} λ = 0.98337756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15821509469417))-π/2
    2×atan(8.65567430326701)-π/2
    2×1.455775115165-π/2
    2.91155023033-1.57079632675     		φ = 1.34075390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98337756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.343384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34075390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.819540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86050 KachelY 20514 0.98337756 1.34075390 56.343384 76.819540
    Oben rechts KachelX + 1 86051 KachelY 20514 0.98342550 1.34075390 56.346131 76.819540
    Unten links KachelX 86050 KachelY + 1 20515 0.98337756 1.34074297 56.343384 76.818914
    Unten rechts KachelX + 1 86051 KachelY + 1 20515 0.98342550 1.34074297 56.346131 76.818914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34075390-1.34074297) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34075390-1.34074297) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98337756-0.98342550) × cos(1.34075390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228018832874431 × 6371000     		do = 69.6428207645638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98337756-0.98342550) × cos(1.34074297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22802947492878 × 6371000     		du = 69.6460711218883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34075390)-sin(1.34074297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228018832874431-0.22802947492878)×R²
    abs(0.98342550-0.98337756)×1.06420543486141e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06420543486141e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06420543486141e-05×40589641000000     		ar = 4849.69308265379m²