Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86079 / 20545
↖ ↑ ↗
← N 76.800111°
E 56.423035°		 ← 69.74 m → N 76.800111°
E 56.425781°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.799485°
E 56.423035°		 ← 69.75 m →
4 861 m²		 N 76.799485°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656734466552734 y=0.156749725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656734466552734 × 217)
    floor (0.656734466552734 × 131072)
    floor (86079.5)     		tx = 86079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156749725341797 × 217)
    floor (0.156749725341797 × 131072)
    floor (20545.5)     		ty = 20545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86079 / 20545 ti = "17/86079/20545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86079/20545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86079 ÷ 217
    86079 ÷ 131072     		x = 0.656730651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20545 ÷ 217
    20545 ÷ 131072     		y = 0.156745910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656730651855469 × 2 - 1) × π
    0.313461303710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.98476773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156745910644531 × 2 - 1) × π
    0.686508178710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15672905080595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98476773} λ = 0.98476773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15672905080595))-π/2
    2×atan(8.64282114391498)-π/2
    2×1.45560556954639-π/2
    2.91121113909279-1.57079632675     		φ = 1.34041481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98476773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34041481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86079 KachelY 20545 0.98476773 1.34041481 56.423035 76.800111
    Oben rechts KachelX + 1 86080 KachelY 20545 0.98481567 1.34041481 56.425781 76.800111
    Unten links KachelX 86079 KachelY + 1 20546 0.98476773 1.34040387 56.423035 76.799485
    Unten rechts KachelX + 1 86080 KachelY + 1 20546 0.98481567 1.34040387 56.425781 76.799485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34041481-1.34040387) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34041481-1.34040387) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98476773-0.98481567) × cos(1.34041481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228348977016856 × 6371000     		do = 69.7436552837322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98476773-0.98481567) × cos(1.34040387) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228359627961246 × 6371000     		du = 69.7469083563041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34041481)-sin(1.34040387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228348977016856-0.228359627961246)×R²
    abs(0.98481567-0.98476773)×1.06509443898728e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06509443898728e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06509443898728e-05×40589641000000     		ar = 4861.15826380723m²