Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86081 / 20543
↖ ↑ ↗
← N 76.801366°
E 56.428528°		 ← 69.74 m → N 76.801366°
E 56.431274°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.800739°
E 56.428528°		 ← 69.74 m →
4 861 m²		 N 76.800739°
E 56.431274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656749725341797 y=0.156734466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656749725341797 × 217)
    floor (0.656749725341797 × 131072)
    floor (86081.5)     		tx = 86081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156734466552734 × 217)
    floor (0.156734466552734 × 131072)
    floor (20543.5)     		ty = 20543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86081 / 20543 ti = "17/86081/20543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86081/20543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86081 ÷ 217
    86081 ÷ 131072     		x = 0.656745910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20543 ÷ 217
    20543 ÷ 131072     		y = 0.156730651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656745910644531 × 2 - 1) × π
    0.313491821289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.98486360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156730651855469 × 2 - 1) × π
    0.686538696289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.15682492460519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98486360} λ = 0.98486360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15682492460519))-π/2
    2×atan(8.64364980373695)-π/2
    2×1.45561651537742-π/2
    2.91123303075485-1.57079632675     		φ = 1.34043670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98486360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.428528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34043670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.801366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86081 KachelY 20543 0.98486360 1.34043670 56.428528 76.801366
    Oben rechts KachelX + 1 86082 KachelY 20543 0.98491154 1.34043670 56.431274 76.801366
    Unten links KachelX 86081 KachelY + 1 20544 0.98486360 1.34042576 56.428528 76.800739
    Unten rechts KachelX + 1 86082 KachelY + 1 20544 0.98491154 1.34042576 56.431274 76.800739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34043670-1.34042576) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34043670-1.34042576) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98486360-0.98491154) × cos(1.34043670) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228327665310246 × 6371000     		do = 69.7371461399698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98486360-0.98491154) × cos(1.34042576) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228338316309318 × 6371000     		du = 69.7403992292434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34043670)-sin(1.34042576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228327665310246-0.228338316309318)×R²
    abs(0.98491154-0.98486360)×1.06509990728254e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06509990728254e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06509990728254e-05×40589641000000     		ar = 4860.70458515076m²