Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86082 / 20546
↖ ↑ ↗
← N 76.799485°
E 56.431274°		 ← 69.75 m → N 76.799485°
E 56.434021°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.798857°
E 56.431274°		 ← 69.75 m →
4 866 m²		 N 76.798857°
E 56.434021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656757354736328 y=0.156757354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656757354736328 × 217)
    floor (0.656757354736328 × 131072)
    floor (86082.5)     		tx = 86082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156757354736328 × 217)
    floor (0.156757354736328 × 131072)
    floor (20546.5)     		ty = 20546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86082 / 20546 ti = "17/86082/20546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86082/20546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86082 ÷ 217
    86082 ÷ 131072     		x = 0.656753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20546 ÷ 217
    20546 ÷ 131072     		y = 0.156753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656753540039062 × 2 - 1) × π
    0.313507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98491154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156753540039062 × 2 - 1) × π
    0.686492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15668111390633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98491154} λ = 0.98491154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15668111390633))-π/2
    2×atan(8.64240684379558)-π/2
    2×1.45560009624773-π/2
    2.91120019249547-1.57079632675     		φ = 1.34040387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98491154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.431274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34040387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.799485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86082 KachelY 20546 0.98491154 1.34040387 56.431274 76.799485
    Oben rechts KachelX + 1 86083 KachelY 20546 0.98495948 1.34040387 56.434021 76.799485
    Unten links KachelX 86082 KachelY + 1 20547 0.98491154 1.34039292 56.431274 76.798857
    Unten rechts KachelX + 1 86083 KachelY + 1 20547 0.98495948 1.34039292 56.434021 76.798857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34040387-1.34039292) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34040387-1.34039292) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98491154-0.98495948) × cos(1.34040387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228359627961246 × 6371000     		do = 69.7469083561426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98491154-0.98495948) × cos(1.34039292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228370288614049 × 6371000     		du = 69.7501643939137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34040387)-sin(1.34039292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228359627961246-0.228370288614049)×R²
    abs(0.98495948-0.98491154)×1.06606528026409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06606528026409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06606528026409e-05×40589641000000     		ar = 4865.82878144318m²