Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86084 / 20548
↖ ↑ ↗
← N 76.798230°
E 56.436767°		 ← 69.75 m → N 76.798230°
E 56.439514°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.797602°
E 56.436767°		 ← 69.76 m →
4 866 m²		 N 76.797602°
E 56.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656772613525391 y=0.156772613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656772613525391 × 217)
    floor (0.656772613525391 × 131072)
    floor (86084.5)     		tx = 86084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156772613525391 × 217)
    floor (0.156772613525391 × 131072)
    floor (20548.5)     		ty = 20548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86084 / 20548 ti = "17/86084/20548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86084/20548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86084 ÷ 217
    86084 ÷ 131072     		x = 0.656768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20548 ÷ 217
    20548 ÷ 131072     		y = 0.156768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656768798828125 × 2 - 1) × π
    0.31353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98500741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156768798828125 × 2 - 1) × π
    0.68646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15658524010709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98500741} λ = 0.98500741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15658524010709))-π/2
    2×atan(8.64157830313519)-π/2
    2×1.45558914888406-π/2
    2.91117829776813-1.57079632675     		φ = 1.34038197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98500741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.436767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34038197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.798230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86084 KachelY 20548 0.98500741 1.34038197 56.436767 76.798230
    Oben rechts KachelX + 1 86085 KachelY 20548 0.98505535 1.34038197 56.439514 76.798230
    Unten links KachelX 86084 KachelY + 1 20549 0.98500741 1.34037102 56.436767 76.797602
    Unten rechts KachelX + 1 86085 KachelY + 1 20549 0.98505535 1.34037102 56.439514 76.797602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34038197-1.34037102) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dl = 69.7624499989999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34038197-1.34037102) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dr = 69.7624499989999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98500741-0.98505535) × cos(1.34038197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228380949239469 × 6371000     		do = 69.7534204233217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98500741-0.98505535) × cos(1.34037102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228391609837506 × 6371000     		du = 69.7566764443659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34038197)-sin(1.34037102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228380949239469-0.228391609837506)×R²
    abs(0.98505535-0.98500741)×1.06605980368102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06605980368102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06605980368102e-05×40589641000000     		ar = 4866.28307860693m²