Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86096 / 20560
↖ ↑ ↗
← N 76.790701°
E 56.469727°		 ← 69.78 m → N 76.790701°
E 56.472473°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.790073°
E 56.469727°		 ← 69.78 m →
4 868 m²		 N 76.790073°
E 56.472473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656864166259766 y=0.156864166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656864166259766 × 217)
    floor (0.656864166259766 × 131072)
    floor (86096.5)     		tx = 86096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156864166259766 × 217)
    floor (0.156864166259766 × 131072)
    floor (20560.5)     		ty = 20560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86096 / 20560 ti = "17/86096/20560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86096/20560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86096 ÷ 217
    86096 ÷ 131072     		x = 0.6568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20560 ÷ 217
    20560 ÷ 131072     		y = 0.1568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6568603515625 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98558266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1568603515625 × 2 - 1) × π
    0.686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15600999731165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98558266} λ = 0.98558266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15600999731165))-π/2
    2×atan(8.63660872696856)-π/2
    2×1.45552344323951-π/2
    2.91104688647902-1.57079632675     		φ = 1.34025056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98558266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.469727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34025056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.790701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86096 KachelY 20560 0.98558266 1.34025056 56.469727 76.790701
    Oben rechts KachelX + 1 86097 KachelY 20560 0.98563059 1.34025056 56.472473 76.790701
    Unten links KachelX 86096 KachelY + 1 20561 0.98558266 1.34023961 56.469727 76.790073
    Unten rechts KachelX + 1 86097 KachelY + 1 20561 0.98563059 1.34023961 56.472473 76.790073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34025056-1.34023961) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34025056-1.34023961) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98558266-0.98563059) × cos(1.34025056) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.228508884343658 × 6371000     		do = 69.7779367960957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98558266-0.98563059) × cos(1.34023961) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.228519544612969 × 6371000     		du = 69.7811920375728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34025056)-sin(1.34023961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228508884343658-0.228519544612969)×R²
    abs(0.98563059-0.98558266)×1.06602693109303e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06602693109303e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06602693109303e-05×40589641000000     		ar = 4867.99337371655m²