Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86144 / 12416
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
E 56.601563°		 ← 47.57 m → N 81.038617°
E 56.604309°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
N 81.038189°
E 56.601563°		 ← 47.57 m →
2 264 m²		 N 81.038189°
E 56.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657230377197266 y=0.0947303771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657230377197266 × 217)
    floor (0.657230377197266 × 131072)
    floor (86144.5)     		tx = 86144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0947303771972656 × 217)
    floor (0.0947303771972656 × 131072)
    floor (12416.5)     		ty = 12416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86144 / 12416 ti = "17/86144/12416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86144/12416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86144 ÷ 217
    86144 ÷ 131072     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12416 ÷ 217
    12416 ÷ 131072     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86144 KachelY 12416 0.98788363 1.41439069 56.601563 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 86145 KachelY 12416 0.98793156 1.41439069 56.604309 81.038617
    Unten links KachelX 86144 KachelY + 1 12417 0.98788363 1.41438322 56.601563 81.038189
    Unten rechts KachelX + 1 86145 KachelY + 1 12417 0.98793156 1.41438322 56.604309 81.038189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41438322) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dl = 47.5913700007673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41438322) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dr = 47.5913700007673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98793156) × cos(1.41439069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 47.5658561169803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98793156) × cos(1.41438322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155776110495525 × 6371000     		du = 47.5681093264469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41438322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155776110495525)×R²
    abs(0.98793156-0.98788363)×7.37881349072156e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.37881349072156e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.37881349072156e-06×40589641000000     		ar = 2263.77787460149m²